<content> d </content>

a8071713-c15d-4cbd-8f99-edd9e5eede6f 59 Вячеслав Мезенцев 4 5 false false false 0 3 decimal

Double Pendulum

Derivative utility X\032E\ t\032E\ n\032E\ p\032E\ DIFF R\0324\ 0 : R\0324\ 0 : k\0324\ 0 : 13 mat x\0324\ X\032E\ str\0324\ diff(x\0324\ num2str, t\032E\ num2str, n\032E\ num2str) concat : R\0324\ k\0324\ k\0324\ 1 + : el str\0324\ str2num p\032E\ * : 21 line for k\0324\ 1 ≡ R\0324\ 1 el k\0324\ 0 : r\0324\ 1 X\032E\ rows range c\0324\ 1 X\032E\ cols range A\0324\ r\0324\ c\0324\ el R\0324\ k\0324\ k\0324\ 1 + : el : for for A\0324\ 31 line if 31 line :

d.Aux2 try to catch the differential variable and it's order. t\032E\ d.Aux2 U\0324\ t\032E\ Unknowns : R\0324\ 0 : 12 mat k\0324\ 1 : k\0324\ U\0324\ length ≤ k\0324\ k\0324\ 1 + : str\0324\ U\0324\ k\0324\ el num2str : Unknowns(dSymbol str\0324\) concat str2num num2str 0 ≡ 0 l\0324\ 05 range t\032E\ U\0324\ k\0324\ el l\0324\ 1 + 1 DIFF num2str 0 ≡ break continue if for p\0324\ dSymbol str\0324\ concat dSymbol dSymbol concat dSymbol strrep str2num : n\0324\ str\0324\ dSymbol findstr : (1 - ≡ (R\0324\ k\0324\ 1 el R\0324\ k\0324\ 2 el R\0324\ k\0324\ 3 el 13 mat U\0324\ k\0324\ el l\0324\ p\0324\ 13 mat : m\0324\ str\0324\ 1 n\0324\ rows substr dSymbol findstr : (1 - ≡ R\0324\ k\0324\ 1 el R\0324\ k\0324\ 2 el R\0324\ k\0324\ 3 el 13 mat U\0324\ k\0324\ el l\0324\ n\0324\ rows + 1 - p\0324\ 13 mat : R\0324\ k\0324\ 1 el R\0324\ k\0324\ 2 el R\0324\ k\0324\ 3 el 13 mat U\0324\ k\0324\ el l\0324\ m\0324\ rows + 1 - p\0324\ 13 mat : if if 31 line if 21 line for R\0324\ 31 line :

∂(x,t) returns x'*∂t x\032E\ t\032E\ ∂ R\0324\ t\032E\ d.Aux2 : D\0324\ x\032E\ : 12 mat R\0324\ num2str 0 ≡ D\0324\ 0 : k\0324\ 1 R\0324\ rows range D\0324\ D\0324\ R\0324\ k\0324\ 1 el R\0324\ k\0324\ 2 el R\0324\ k\0324\ 3 el (R\0324\ k\0324\ 2 el^DIFF : 11 line for if D\0324\ 31 line :

d(x) returns the total differential of x x\032E\ d U\0324\ x\032E\ Unknowns : s\0324\ 0 : 12 mat k\0324\ 1 : k\0324\ U\0324\ length ≤ k\0324\ k\0324\ 1 + : s\0324\ s\0324\ x\032E\ U\0324\ k\0324\ el ∂ + : for s\0324\ 31 line :

<content> equrep </content>

\032E\a TrueQ \032E\a num2str 1 ≡ 11 line :

\032E\a FalseQ \032E\a num2str 0 ≡ 11 line :

\032E\a b\032E\ EqualQ \032E\a num2str b\032E\ num2str ≡ 11 line :

E\032E\ \032E\a b\032E\ EquRep equrep(E\032E\ num2str, \032E\a num2str, b\032E\ num2str) concat str2num 11 line :

E\032E\ \032E\a b\032E\ q\032E\ EquRep equrep(E\032E\ num2str, \032E\a num2str,if(TrueQ(q\032E\ num2str), b\032E\ num2str, a# num2str)) concat str2num 11 line :

EQ EQ EQ(a/b,z) EQ.B(a,b,z,a/b,z/a,z*b) 1 quotient 14 mat stack :

a#

b#

q#

E\032E\ Rules\032E\ EquRep ans\0324\ E\032E\ : n\0324\ 1 Rules\032E\ rows range ans\0324\ ans\0324\ Rules\032E\ n\0324\ 1 el Rules\032E\ n\0324\ 2 el EquRep : for ans\0324\ 31 line :

E\032E\ Rules\032E\ EquRepN ans\0324\ E\032E\ : N\0324\ 1 EquRepN range ans\0324\ ans\0324\ ans\0324\ Rules\032E\ EquRep : EqualQ break continue if 11 line for ans\0324\ 31 line :

E\032E\ equal2EQ ans\0324\ E\032E\ num2str : ans\0324\ ≡ findstr 1 - ≡ ans\0324\ ans\0324\ ≡0 concat : n\0324\ ans\0324\ ≡ findstr 1 el : 12 mat n\0324\ ans\0324\ ≡ findstr 1 el : if ans\0324\ 1 n\0324\ 1 - substr str2num ans\0324\ n\0324\ 1 + ans\0324\ strlen n\0324\ - substr str2num 12 mat 31 line :

E\032E\ x\032E\ depends E\032E\ x\032E\ x\032E\_DEPENDS.X# EquRep num2str x\032E\_DEPENDS.X# num2str findstr 1 - ≠ 11 line :

\032E\a b\032E\ x\032E\ depends \032E\a x\032E\ depends b\032E\ x\032E\ depends & 11 line :

E\032E\ x\032E\ DIFF diff(E\032E\ x\032E\_DIFF# EquRep num2str,_DIFF#) concat str2num_DIFF# x\032E\ EquRep 11 line :

E\032E\ x\032E\ n\032E\ DIFF diff(E\032E\ x\032E\_DIFF# EquRep num2str,_DIFF#, n\032E\ num2str) concat str2num_DIFF# x# EquRep 11 line :

EquRepN 20 :

EQ EQ(-a,b) EQ(a,0-b) 1 minus 14 mat :

EQ EQ EQ(a^b,z) EQ.B(a,b,z,a^b,ln(z)/ln(a),'sign*z^(1/b)) 1 power 14 mat stack :

Not usual but better EQ.B(a,b,z,a^b,ln(z)/ln(a),exp(ln(z)/b))

EQ EQ EQ(a/b,z) EQ.B(a,b,z,a/b,z/a,z*b) 1 quotient 14 mat stack :

EQ EQ EQ(a*b,z) EQ.B(a,b,z,a*b,z/a,z/b) 1 times 14 mat stack :

EQ EQ EQ(a+b,z) EQ.B(a,b,z,a+b,z-a,z-b) 1 plus 14 mat stack :

EQ EQ EQ(a,z) EQ.L(a,z) 1 lineal 14 mat stack :

EQ EQ EQ(x*(b+a*x),z) EQ.P2(a,b,x,z) 1 Poly2 14 mat stack :

EQA sin cos tan sec csc cot sinh cosh tanh sech csch coth exp_EQ#.10 erf asin acos atan asec acsc acot asinh acosh atanh asech acsch acoth ln log10 erfinv 215 mat transpose :

EQA rows 15

_k# 1 EQA rows range EQ EQ EQ(EQA_k# 1 el (a),b) concat EQ.A(a,b, EQA_k# 1 el (a), EQA_k# 2 el (b) concat 1 EQA_k# 1 el 14 mat stack : for

_k# 1 EQA rows range EQ EQ EQ(EQA_k# 2 el (a),b) concat EQ.A(a,b, EQA_k# 2 el (a), EQA_k# 1 el (b) concat 1 EQA_k# 2 el 14 mat stack : for

E\032E\ x\032E\ isolate a\0324\_EQ#.10 10 a\0324\^11 line : a\0324\ b\0324\ f\0324\ a\0324\ EQ.A a\0324\ x\032E\ depends a\0324\ a\0324\ EQ f\0324\ b\0324\ EQ if 11 line : a\0324\ b\0324\ z\0324\ f\0324\ a\0324\ j\0324\ EQ.B a\0324\ x\032E\ depends b\0324\ x\032E\ depends \0324\k f\0324\ x\032E\ 0 EquRep : f\0324\ \0324\k - z\0324\ \0324\k - EQ 21 line a\0324\ j\0324\ EQ if b\0324\ x\032E\ depends b\0324\ a\0324\ EQ z\0324\ f\0324\ EQ if if 11 line : a\0324\ z\0324\ EQ.L a\0324\ x\032E\ 2 DIFF FalseQ x\032E\ z\0324\ a\0324\ x\032E\ 0 EquRep - a\0324\ x\032E\ DIFF / EQ a\0324\ z\0324\ EQ if 11 line : a\0324\ b\0324\ \0324\X z\0324\ EQ.P2 \0324\X x\032E\ EqualQ a\0324\ b\0324\ x\032E\ depends ¬ (& a\0324\ \0324\X b\0324\ 2 a\0324\ * / + (2^* z\0324\ b\0324\ 2^4 a\0324\ * / + EQ \0324\X b\0324\ a\0324\ \0324\X * + (* z\0324\ EQ if 11 line : ans\0324\ E\032E\ equal2EQ : A\0324\ ans\0324\ 1 el numden : B\0324\ ans\0324\ 2 el numden : 13 mat ans\0324\ A\0324\ 1 el B\0324\ 2 el * A\0324\ 2 el B\0324\ 1 el * - 0 EQ EQ EquRepN : a\0324\ b\0324\ EQ a\0324\ b\0324\ ≡ (: ans\0324\ 91 line :

E\032E\ x\032E\ isol ans\0324\ E\032E\ x\032E\ isolate equal2EQ : ans\0324\ 1 el x\032E\ EqualQ ans\0324\ 2 el x\032E\ depends ¬ & ans\0324\ 2 el ans\0324\ 1 el ans\0324\ 2 el - if 21 line :

sign 1 :

Lagrangian Dynamics

dSymbol ∂ :

Double Pendulum

Constants

∂m.1 0 :

∂m.2 0 :

∂g 0 :

∂L.1 0 :

∂L.2 0 :

Gen Coords

∂θ.1 θ'.1 ∂t * :

∂θ'.1 θ''.1 ∂t * :

∂θ.2 θ'.2 ∂t * :

∂θ'.2 θ''.2 ∂t * :

Position

x.1 L.1 θ.1 sin * :

y.1 L.1 θ.1 cos * - :

x.2 x.1 L.2 θ.2 sin * + :

y.2 y.1 L.2 θ.2 cos * - :

x'.1 x.1 d ∂t / :

y'.1 y.1 d ∂t / :

x'.2 x.2 d ∂t / :

y'.2 y.2 d ∂t / :

Lagrangian

L 12 / m.1 * x'.1 2^y'.1 2^+ (* 12 / m.2 * x'.2 2^y'.2 2^+ (* + m.1 g * y.1 * - m.2 g * y.2 * - :

Equations of motion

eq.1 1 \2202\t / L θ'.1 ∂ ∂θ'.1 / d * L θ.1 ∂ ∂θ.1 / - θ''.1 isol θ''.1 - numden 1 el :

eq.2 1 \2202\t / L θ'.2 ∂ ∂θ'.2 / d * L θ.2 ∂ ∂θ.2 / - θ''.2 isol θ''.2 - numden 1 el :

eq.1 m.2 L.2 θ'.2 2^θ.2 sin θ.1 cos * - θ.2 cos θ.1 sin * + (* θ.2 cos θ.1 cos * θ.2 sin θ.1 sin * + (θ''.2 * + (* g θ.1 sin * + (* m.1 g * θ.1 sin * + θ''.1 L.1 * m.1 m.2 + (* + (-

eq.2 L.1 θ'.1 2^θ.1 sin θ.2 cos * - θ.1 cos θ.2 sin * + (* θ.1 cos θ.2 cos * θ.1 sin θ.2 sin * + (θ''.1 * + (* g θ.2 sin * + θ''.2 L.2 * + (-

(without further simplification)

Values

m.1 1 :

L.1 1 :

θ.1..b π 2 / :

g 9.82 :

t.end 8 :

θ.2..b π 2 / :

m.2 0.5 :

L.2 0.2 :

Lagrangian solution

t u θ'' D θ.1 θ'.1 θ.2 θ'.2 14 mat u 1 el u 2 el u 3 el u 4 el 14 mat : θ''.1 θ''.2 12 mat v 1 el v 2 el 12 mat : v eq.3 eq.1 eq.2 stack : θ'' θ'' eq.3 al_nleqsolve : θ'.1 θ'' 1 el θ'.2 θ'' 2 el stack 51 line :

θ'' 0021 mat :

This way is for update the guess for θ''

Although in this case the second derivatives can be isolated, it is much more practical to solve them numerically.

U θ.1..b 0 θ.2..b 0 stack 0 t.end 500 D rkfixed :

T θ.1 θ.2 13 mat U 1 col U 2 col U 4 col 13 mat :

n 1 U rows range :

X1 x.1 vectorize :

Y1 y.1 vectorize :

X2 x.2 vectorize :

Y2 y.2 vectorize :

n Π 00 X1 n el Y1 n el X2 n el Y2 n el 32 mat 11 sys :

n Π 1 1 line

Coupled equations, rkfixed can't solve the system.

t θ1 t θ2 2 1 sys 10 1000 rkfixed

m.2 L.2 * t θ2'' * m.2 L.1 * t θ1'' * t θ1 t θ2 - cos * + m.2 L.1 * t θ1' 2^* t θ1 t θ2 - sin * - m.2 g * t θ2 sin * + 0 ≡

0 θ2 θ.2..b ≡

0 θ2' 0 ≡

m.1 m.2 + (L.1 * t θ1'' * m.2 L.2 * t θ2'' * t θ1 t θ2 - cos * + m.2 L.2 * t θ2' 2^* t θ1 t θ2 - sin * + g m.1 m.2 + (* t θ1 sin * + 0 ≡

0 θ1 θ.1..b ≡

0 θ1' 0 ≡

Original solution

t θ1 t θ2 2 1 sys 10 1000 rkfixed

m.2 t θ2'' * L.2 * g m.2 * t θ2 sin * - ≡

0 θ2 θ.2..b ≡

0 θ2' 0 ≡

m.1 t θ1'' * L.1 * g m.1 * t θ1 sin * - g m.2 * t θ2 cos * + ≡

0 θ1 θ.1..b ≡

0 θ1' 0 ≡

t x.1 L.1 t θ1 sin * :

t y.1 L.1 t θ1 cos * - :

t x.2 L.1 t θ1 sin * L.2 t θ2 sin * + :

t y.2 L.1 t θ1 cos * L.2 t θ2 cos * + (- :

T Π 00 T x.1 T y.1 T x.2 T y.2 32 mat 11 sys :

T Π 1 1 line

Comparing both solutions: aren't the same

X2 Y2 augment XX2 n el T n el x.2 : YY2 n el T n el y.2 : augment eval 1 1 line

Alvaro

4 appVersion 1.75.9678.0